Александр Александрович Солодов, д.т.н., профессор, профессор,
Москва.
Alexander A. Solodov, Dr. Sci. (Engineering), Professor, Professor,
Moscow.
Татьяна Германовна Трембач, старший преподаватель кафедры И13,
Москва.
Tatiana G. Trembach, Senior Lecturer at the Department of I13,
Moscow.
Целью исследования является разработка методов оптимальной по критерию максимального правдоподобия оценки неизвестных неслучайных факторов, влияющих на качество производственного оборудования, а также случайных факторов по критерию минимума среднеквадратической ошибки на основе обработки информации, связанной с поступившими рекламациями с применением математической теории случайных точечных процессов и теории статистических решений.
Метод исследования состоит в применении известной гипотезы о распределении времени наработки на отказ технических систем в виде экспоненциального распределения, зависящего от функции интенсивности отказов. Использован тот факт, что соответствующее распределение числа отказов распределено по пуассоновскому закону с этой же функцией интенсивностей отказов. Сделано предположение о том, что функция интенсивностей зависит не только от времени, но и от совокупности неизвестных неслучайных параметров, или от случайных параметров. Подчеркивается, что такие факторы могут отражать обобщенное состояние технической системы, а информация об этом может быть заключена в фактах предъявления рекламаций на продукцию. Поставлена задача оптимальной оценки параметров, от которых зависит функция интенсивности отказов. Поскольку в данной постановке задачи обработке доступны только факты предъявления рекламаций, а также времена их предъявления, то для оптимальной оценки неслучайных параметров применен метод максимума функции правдоподобия, а для случайных – оптимальный фильтр Калмана. Рассмотрена задача оптимальной оценки неизвестных параметров с мультипликативно сепарабельной функции интенсивности отказов, т.е. такой, которая представима в виде произведения отдельно функции времени и функции вектора неизвестных параметров. Показано, что для такой функции задача оптимальной оценки сводится к задаче оценки одного скалярного параметра, масштабирующего функцию времени. Известный алгоритм Калмана для непрерывных параметров применен для случая наблюдаемого процесса в виде числа событий предъявления рекламация и времен их появления. Примеры оценки как неизвестного, так и случайного фактора, приведены для единых реальных данных о пороках ткани, и подтверждают работоспособность алгоритмов и их применимости для простейших оценок состояния производственного оборудования.
Новыми результатами исследования являются постановка задачи исследования функции интенсивности отказов, зависящей от совокупности неизвестных неслучайных или случайных параметров, применение методов максимального правдоподобия и алгоритма Калмана для оптимальной оценки этих параметров, а также доказательство утверждения о том, что для сепарабельной функции интенсивностей отказов оптимальная оценка неслучайных параметров сводится к оценке скалярной величины, масштабирующей зависящую от времени функцию интенсивности.
В заключении указывается, что примеры оценки факторов, влияющих на функцию интенсивности отказов, подтверждает работоспособность алгоритма и его применимости для простейших оценок состояния производственного оборудования. Отдельной задачей является разработка аналитических выражений для функции интенсивности отказов, зависящей от параметров, а также методов сравнения оценок, полученных различными методами. Решение этих задач позволит разработать методы уточнения состояния производственного оборудования.
The purpose of the study is to develop methods for optimal estimation of unknown non-random factors affecting the quality of production equipment by the criterion of maximum likelihood, as well as random factors by the criterion of minimum standard error based on the processing of information related to claims received using the mathematical theory of random point processes and the theory of statistical solutions.
The research method consists in applying the well-known hypothesis about the distribution of operating time for failure of technical systems in the form of an exponential distribution depending on the failure rate function. The fact is used that the corresponding distribution of the number of failures is distributed according to the Poisson law with the same function of failure rates. It is assumed that the intensity function depends not only on time, but also on a set of unknown non-random parameters, or on random parameters. It is emphasized that such factors may reflect the generalized state of the technical system, and information about this may be contained in the facts of product claims. The task of optimal estimation of the parameters on which the failure rate function depends is set. Since in this formulation of the problem, only the facts of filing claims, as well as the times of their presentation, are available for processing, the maximum likelihood function method is used for optimal estimation of nonrandom parameters, and the optimal Kalman filter is used for random parameters. The problem of optimal estimation of unknown parameters from a multiplicatively separable failure rate function, i.e. one that is representable as a product of a separate function of time and a vector function of unknown parameters, is considered. It is shown that for such a function, the optimal estimation problem is reduced to the problem of estimating a single scalar parameter that scales the time function. The well-known Kalman algorithm for continuous parameters is applied to the case of the observed process in the form of the number of claims’ events and the time of their occurrence. Examples of evaluation of both unknown and random factors are given for unified real data on tissue defects, and confirm the operability of the algorithms and their applicability for the simplest assessments of the condition of production equipment.
The new results include the formulation of the problem of studying a failure intensity function that depends on a set of unknown nonrandom parameters, the application of the maximum likelihood method and Kalman algorithm for optimal estimation of these parameters, and the proof that for a separable failure intensity function, the optimal estimation reduces to the estimation of a scalar quantity that scales the time-dependent intensity function.
The conclusion states that examples of assessment of factors affecting the function of the failure rate confirm the operability of the algorithm and its applicability for the simplest assessments of the condition of production equipment. A separate task is to develop analytical expressions for the failure rate function that depends on parameters, as well as methods for comparing estimates obtained by different methods. Solving these tasks will make it possible to develop methods for clarifying the condition of production equipment.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.