ooОткрытое образованиеOpen Education1818-42432079-5939Plekhanov Russian University of Economics10.21686/1818-4243-2017-3-66-72oo-414Research ArticleУЧЕБНЫЕ РЕСУРСЫEDUCATIONAL RESOURCESПрограммный комплекс PhaPl для автоматического построения и исследования фазовых портретов на плоскостиPhaPl: software to plot and research phase portraits automaticallyЧерепановА. А.CherepanovA. A.

aспирант, кафедра Высшей математики

Postgraduate student, Academic Department

Российский экономический университет им. Г. В. ПлехановаРоссияHigher Mathematics, Plekhanov Russian University of EconomicsRussian Federation201710072017036672Copyright © Черепанов А.А., 20172017Черепанов А.А.Cherepanov A.A.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://openedu.rea.ru/jour/article/view/414

Целью работы является описание программного комплекса PhaPl для построения и исследования фазового портрета автономных систем двух дифференциальных уравнений на плоскости, предназначенного для использования в учебном процессе. Интерактивные компьютерные учебные материалы позволяют демонстрировать задачи, наглядно описывая большое количество состояний изучаемых систем и вовлекая учащегося в процесс решения. Построение и исследование фазового портрета автономной системы двух дифференциальных уравнений на плоскости является важной задачей, входящей в дисциплину «Дифференциальные уравнения» и другие дисциплины, использующие динамические системы. Программный комплекс, предлагаемый в статье, позволяет легко визуализировать фазовые портреты и производить аналитические исследования, нужные для решения задачи. Построение фазового портрета связано с огромным количеством рутинных вычислений. Благодаря программному комплексу основной упор в обучении можно сделать на аналитических исследованиях качественных свойств автономных систем двух дифференциальных уравнений на плоскости. Программный комплекс позволяет строить фазовые портреты как линейных, так и нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений. Программный комплекс сильно отличается от существующих пакетов программ простотой пользовательского интерфейса и наглядностью, так как при его использовании демонстрируются все шаги решения задачи. Для полного решения задачи достаточно ввести исследуемую систему. Начальные условия для фазовых траекторий выбираются автоматически. Графическое представление фазового портрета является интерактивным и позволяет проводить дополнительные фазовые траектории с заданными начальными условиями, наводя указатель на фазовый портрет. Программный комплекс основан на популярном свободном программном обеспечении (Maxima, Qt4, LaTeX) и сам является свободным программным обеспечением, что делает его доступным широкому кругу учащихся, включая студентов дистанционной формы обучения. Программный комплекс является переносимым программным обеспечением и работает на операционных системах Windows и Linux. В статье описываются достоинства, недостатки и особенности программного комплекса и некоторые аспекты его применения в учебном процессе при изучении дисциплин, использующих динамические системы. Программный комплекс был внедрён в учебный процесс Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) и в учебный процесс механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 2013 году, а его обновленная версия – в РЭУ имени Г. В. Плеханова в 2016 году. В дальнейшем планируется развитие программного комплекса, сокращение размера бинарных пакетов, улучшение переносимости и увеличение количества аналитических исследований, выполняемых в процессе решения задачи. 

The article aims to document PhaPl that’s a teaching software to plot and research phase portraits of autonomous systems of 2 differential equations on a plane. Interactive computer teaching materials allow to demonstrate tasks describing large number of states of investigated systems clearly and involving students into solving. Plotting and research of phase portraits of autonomous system of 2 differential equations is an important task in “Differential equations” course and other courses that use dynamic systems. The software allows to visualize phase portraits and to perform analysis easily. Plotting of phase portraits needs a lot of routine computations. The software allows teacher to focus on analytical research of autonomous systems of 2 differential equations. The software supports linear and nonlinear autonomous systems of 2 differential equations. The software differs is very different compared with previously known programs: it has very easy graphical user interface and it gives clarity because it demonstrates all steps of solution. To get the full solution, it is enough to just enter a system to research. Initial conditions to plot phase trajectories are chosen automatically. Graphical representation of the phase plane is interactive and allows user to draw additional trajectories with specified initial conditions by mouse hovering over the phase plane. The software is based on popular Free Software (Maxima, Qt4, LaTeX) and it is Free Software itself, thus it is accessible to wider audience, including online students. The software is portable and works on Windows and Linux operating systems. The article describes advantages, disadvantages and peculiar properties of the software, and some aspects of teaching experience. The software is deployed in Moscow State University of Economics, Statistics, and Informatics (MESI), Lomonosov Moscow State University (MSU) since 2013, and in Plekhanov Russian University of Economics since 2016. Further development will be focused on reduction of binary size of the software, portability improvements, and number of analytical results showed.

 

программафазовый портретсвободное программное обеспечениеMaximaQtQt4LaTeXобучающее программное обеспечениелинейная системанелинейная системаsoftwarephase planeFree SoftwareMaximaQtQt4LaTeXeducational softwarelinear systemnon-linear systemphase portraitReferencesЛапшин В. П., Туркин И. А. Моделирование динамики формообразующих движений при сверлении глубоких отверстий малого диаметра // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. 2012. № 4 (110) С. 226–233. URL: http://cyberleninka.ru/article/n/modelirovaniedinamiki-formoobrazuyuschih-dvizheniy-prisverlenii-glubokih-otverstiy-malogo-diametraLapshin V. P., Turkin I. A. Modelirovanie dinamiki formoobrazuyuschih dvizhenij pri sverlenii glubokih otverstij malogo diametra // Vestnik Adyigejskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 4: Estestvenno-matematicheskie i tehnicheskie nauki. 2012. № 4 (110) Pp.226-233. (in Russ.) URL: http://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-dinamiki-formoobrazuyuschih-dvizheniy-pri-sverlenii-glubokih-otverstiy-malogo-diametraСамохин А. В., Дементьев Ю. И. Галилеевоинвариантные решения уравнения КдВ-Бюргерса и нелинейная суперпозиция ударных волн // Научный вестник МГТУ ГА. 2016. № 224 (2) С. 24–32. URL: http://cyberleninka.ru/article/n/galileevo-invariantnye-resheniya-uravneniya-kdvbyurgersa-i-nelineynaya-superpozitsiya-udarnyh-volnSamohin A. V., Dement’ev Yu. I. Galileevoinvariantnyie resheniya uravneniya KdV-Byurgersa i nelinejnaya superpozitsiya udarnyih voln // Nauchnyij vestnik MGTU GA. 2016. № 224 (2) Pp. 24–32.(in Russ.) URL: http://cyberleninka.ru/article/n/galileevo-invariantnye-resheniya-uravneniya-kdv-byurgersa-i-nelineynaya-superpozitsiya-udarnyh-volnАгуреев И.Е., Атлас Е.Е. И спользование принципов нелинейной динамики при исследовании диссипативных моделей транспортных процессов в биофизических системах // ВНМТ. 2007. № 1 С. 41–43. URL: http://cyberleninka. ru/article/n/i-spolzovanie-printsipov-nelineynoydinamiki-pri-issledovanii-dissipativnyh-modeleytransportnyh-protsessov-v-biofizicheskih-sistemahAgureev I.E., Atlas E.E. I spol’zovanie printsipov nelinejnoj dinamiki pri issledovanii dissipativnyih modelej transportnyih protsessov v biofizicheskih sistemah // VNMT. 2007. № 1. Pp. 41–43. (in Russ.) URL: http://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-printsipov-nelineynoy-dinamiki-priissledovanii-dissipativnyh-modeley-transportnyhprotsessov-v-biofizicheskih-sistemahБаринова Е.В., Тимбай И.А. Исследование плоского движения относительно центра масс спускаемого аппарата с тригармонической моментной характеристикой при входе в атмосферу // Вестник СГАУ. 2010. № 1 С. 9–19. URL: http://cyberleninka. ru/article/n/issledovanie-ploskogo-dvizheniyaotnositelno-tsentra-mass-spuskaemogo-apparata-strigarmonicheskoy-momentnoy-harakteristikoy-priBarinova E.V., Timbaj I.A. Issledovanie ploskogo dvizheniya otnositel’no tsentra mass spuskaemogo apparata s trigarmonicheskoj momentnoj harakteristikoj pri vhode v atmosferu // Vestnik SGAU. 2010. № 1 Pp. 9–19. (in Russ.) URL: http://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-ploskogo-dvizheniyaotnositelno-tsentra-mass-spuskaemogo-apparata-strigarmonicheskoy-momentnoy-harakteristikoy-priКостромина О.С., Морозов А.Д. О предельных циклах в асимметричном уравнении Дюффинга-Ван-дер-Поля // Вестник ННГУ. 2012.Kostromina O.S., Morozov A.D. O predel’nyih tsiklah v asimmetrichnom uravnenii DyuffingaVan-der-Polya // Vestnik NNGU. 2012. № 1-1 Pp. 115–121. (in Russ.) URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=17338514№ 1-1 С. 115–121. URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=17338514Astashova I.V. Kachestvennyie svojstva reshenij kvazilinejnyih obyiknovennyih differentsial’nyih uravnenij // Kachestvennyie svojstva reshenij differentsial’nyih uravnenij i smezhnyie voprosyi spektral’nogo analiza / pod red. I. V. Astashovoj. M.: YuNITI-DANA, 2012. Pp. 22–288. (in Russ.) URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=20908128Асташова И.В. Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / под ред. И. В. Асташовой. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. С. 22–Astashova I.V. Primenenie dinamicheskih sistem k issledovaniyu asimptoticheskih svojstv reshenij nelinejnyih differentsial’nyih uravnenij vyisokih poryadkov. Sovremennaya matematika i ee prilozheniya // Sovremennaya matematika i ee prilozheniya. – 2003. – T. 8. – Pp. 3–33. (in Russ.) URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=26344653URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=20908128Astashova I. On asymptotic classification of solutions to nonlinear regular and singular third- and fourth-order differential equations with power nonlinearity // Differential and Difference Equations with Applications. — Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. – New York, N.Y., United States: New York, N.Y., United States, 2016. – P. 191–204. [DOI: 10.1007/978-3-319-32857-7]Асташова И.В. Применение динамических систем к исследованию асимптотических свойств решений нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков. Современная математика и ее приложения // Современная математика и ее приложения. – 2003. – Т. 8. – С. 3–33. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=26344653Vaidyanathan S. Lotka-Volterra population biology models with negative feedback and their ecological monitoring //Int J PharmTech Res. – 2015. – T. 8. – № 5. – Pp. 974–981. URL: https:// pdfs.semanticscholar.org/8086/92dd5826922b7be83 4c05e7a41994bb3e135.pdfAstashova I. On asymptotic classification of solutions to nonlinear regular and singular third- and fourth-order differential equations with power nonlinearity // Differential and Difference Equations with Applications. – Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. – New York, N.Y., United States: New York, N.Y., United States, 2016. – P. 191–204. [DOI: 10.1007/978-3-319-32857-7 ]Townsend J.T., Busemeyer J.R. Approachavoidance: Return to dynamic decision behavior // Cognitive Processes the Tulane Flowerree Symposia on Cognition. – 2014. – Pp. 107. URL: http:// www.indiana.edu/~psymodel/papers/towbus89.pdfVaidyanathan S. Lotka-Volterra population biology models with negative feedback and their ecological monitoring //Int J PharmTech Res. – 2015. – Т. 8. – №. 5. – С. 974–981. URL: https:// pdfs.semanticscholar.org/8086/92dd5826922b7be83 4c05e7a41994bb3e135.pdfCherepanov A.A. Programma dlya postroeniya i issledovaniya fazovyih portretov na osnove programmnyih komponentov s otkryityim ishodnyim kodom // Teoreticheskie i prikladnyie aspektyi matematiki, informatiki i obrazovaniya: Materialyi Mezhdunarodnoj nauchnoj konferentsii, 16–21 noyabrya 2014 g., g. Arhangel’sk. – Pp. 594–598. (in Russ.)Townsend J.T., Busemeyer J.R. Approachavoidance: Return to dynamic decision behavior // Cognitive Processes the Tulane Flowerree Symposia on Cognition. – 2014. – С. 107. URL: http://www.Morozov A.D., Dragunov T.N. Vizualizatsiya i analiz invariantnyih mnozhestv dinamicheskih sistem. Moskva-Izhevsk: Institut komp’yuternyih issledovanij, 2003. 304 p. (in Russ.) URL: https:// elibrary.ru/item.asp?id=19448609indiana.edu/~psymodel/papers/towbus89.pdfAstashova I.V., Nikishkin V.A. Praktikum po kursu “Differentsial’nyie uravneniya”. Uchebnoe posobie. Izd. 3-e, ispravlennoe. M.: Izd. tsentr EAOI, 2010. 94 p., il. (in Russ.) URL: http://new. math.msu.su/diffur/main_du_2010.pdfЧерепанов А.А. Программа для построения и исследования фазовых портретов на основе программных компонентов с открытым исходным кодом // Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования: Материалы Международной научной конференции, 16–21 ноября 2014 г., г. Архангельск. – С. 594–598.Ortega Dzh., Pul U. Vvedenie v chislennyie metodyi resheniya differentsial’nyih uravnenij/Per. S angl.; Pod red. A. A. Abramova. – M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1986. – 288 p. (in Russ.) URL: http://www.rk5.msk.ru/Knigi/ChMet/Ortega.pdfМорозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 304 с. URL: https:// elibrary.ru/item.asp?id=19448609Wheeler, David A. “Why Open Source Software / Free Software (OSS/FS, FOSS, or FLOSS)? Look at the Numbers!” [Electronic resource] 2014. URL: http://www.dwheeler.com/oss_fs_why.htmlАсташова И.В., Никишкин В.А. Практикум по курсу «Дифференциальные уравнения». Учебное пособие. Изд. 3-е, исправленное. М.: Изд. центр ЕАОИ, 2010. 94 с., ил. URL: http:// new.math.msu.su/diffur/main_du_2010.pdfАсташова И.В., Никишкин В.А. Практикум по курсу «Дифференциальные уравнения». Учебное пособие. Изд. 3-е, исправленное. М.: Изд. центр ЕАОИ, 2010. 94 с., ил. URL: http:// new.math.msu.su/diffur/main_du_2010.pdfОртега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений/ Пер. с англ.; Под ред. А. А. Абрамова. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 288 с. URL:Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений/ Пер. с англ.; Под ред. А. А. Абрамова. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 288 с. URL:http://www.rk5.msk.ru/Knigi/ChMet/Ortega.pdfhttp://www.rk5.msk.ru/Knigi/ChMet/Ortega.pdfWheeler, David A. “Why Open Source Software / Free Software (OSS/FS, FOSS, or FLOSS)? Look at the Numbers!” [Электронный ресурс] 2014. URL: http://www.dwheeler.com/ oss_fs_why.html (дата обращения 15.10.2014)Wheeler, David A. “Why Open Source Software / Free Software (OSS/FS, FOSS, or FLOSS)? Look at the Numbers!” [Электронный ресурс] 2014. URL: http://www.dwheeler.com/ oss_fs_why.html (дата обращения 15.10.2014)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.