Программный комплекс PhaPl для автоматического построения и исследования фазовых портретов на плоскости

Целью работы является описание программного комплекса PhaPl для построения и исследования фазового портрета автономных систем двух дифференциальных уравнений на плоскости, предназначенного для использования в учебном процессе. Интерактивные компьютерные учебные материалы позволяют демонстрировать задачи, наглядно описывая большое количество состояний изучаемых систем и вовлекая учащегося в процесс решения. Построение и исследование фазового портрета автономной системы двух дифференциальных уравнений на плоскости является важной задачей, входящей в дисциплину «Дифференциальные уравнения» и другие дисциплины, использующие динамические системы. Программный комплекс, предлагаемый в статье, позволяет легко визуализировать фазовые портреты и производить аналитические исследования, нужные для решения задачи. Построение фазового портрета связано с огромным количеством рутинных вычислений. Благодаря программному комплексу основной упор в обучении можно сделать на аналитических исследованиях качественных свойств автономных систем двух дифференциальных уравнений на плоскости. Программный комплекс позволяет строить фазовые портреты как линейных, так и нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений. Программный комплекс сильно отличается от существующих пакетов программ простотой пользовательского интерфейса и наглядностью, так как при его использовании демонстрируются все шаги решения задачи. Для полного решения задачи достаточно ввести исследуемую систему. Начальные условия для фазовых траекторий выбираются автоматически. Графическое представление фазового портрета является интерактивным и позволяет проводить дополнительные фазовые траектории с заданными начальными условиями, наводя указатель на фазовый портрет. Программный комплекс основан на популярном свободном программном обеспечении (Maxima, Qt4, LaTeX) и сам является свободным программным обеспечением, что делает его доступным широкому кругу учащихся, включая студентов дистанционной формы обучения. Программный комплекс является переносимым программным обеспечением и работает на операционных системах Windows и Linux. В статье описываются достоинства, недостатки и особенности программного комплекса и некоторые аспекты его применения в учебном процессе при изучении дисциплин, использующих динамические системы. Программный комплекс был внедрён в учебный процесс Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) и в учебный процесс механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 2013 году, а его обновленная версия – в РЭУ имени Г. В. Плеханова в 2016 году. В дальнейшем планируется развитие программного комплекса, сокращение размера бинарных пакетов, улучшение переносимости и увеличение количества аналитических исследований, выполняемых в процессе решения задачи. 

1. Лапшин В. П., Туркин И. А. Моделирование динамики формообразующих движений при сверлении глубоких отверстий малого диаметра // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. 2012. № 4 (110) С. 226–233. URL: http://cyberleninka.ru/article/n/modelirovaniedinamiki-formoobrazuyuschih-dvizheniy-prisverlenii-glubokih-otverstiy-malogo-diametra

2. Самохин А. В., Дементьев Ю. И. Галилеевоинвариантные решения уравнения КдВ-Бюргерса и нелинейная суперпозиция ударных волн // Научный вестник МГТУ ГА. 2016. № 224 (2) С. 24–32. URL: http://cyberleninka.ru/article/n/galileevo-invariantnye-resheniya-uravneniya-kdvbyurgersa-i-nelineynaya-superpozitsiya-udarnyh-voln

3. Агуреев И.Е., Атлас Е.Е. И спользование принципов нелинейной динамики при исследовании диссипативных моделей транспортных процессов в биофизических системах // ВНМТ. 2007. № 1 С. 41–43. URL: http://cyberleninka. ru/article/n/i-spolzovanie-printsipov-nelineynoydinamiki-pri-issledovanii-dissipativnyh-modeleytransportnyh-protsessov-v-biofizicheskih-sistemah

4. Баринова Е.В., Тимбай И.А. Исследование плоского движения относительно центра масс спускаемого аппарата с тригармонической моментной характеристикой при входе в атмосферу // Вестник СГАУ. 2010. № 1 С. 9–19. URL: http://cyberleninka. ru/article/n/issledovanie-ploskogo-dvizheniyaotnositelno-tsentra-mass-spuskaemogo-apparata-strigarmonicheskoy-momentnoy-harakteristikoy-pri

5. Костромина О.С., Морозов А.Д. О предельных циклах в асимметричном уравнении Дюффинга-Ван-дер-Поля // Вестник ННГУ. 2012.

6. № 1-1 С. 115–121. URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=17338514

7. Асташова И.В. Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / под ред. И. В. Асташовой. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. С. 22–

8. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=20908128

9. Асташова И.В. Применение динамических систем к исследованию асимптотических свойств решений нелинейных дифференциальных уравнений высоких порядков. Современная математика и ее приложения // Современная математика и ее приложения. – 2003. – Т. 8. – С. 3–33. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=26344653

10. Astashova I. On asymptotic classification of solutions to nonlinear regular and singular third- and fourth-order differential equations with power nonlinearity // Differential and Difference Equations with Applications. – Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. – New York, N.Y., United States: New York, N.Y., United States, 2016. – P. 191–204. [DOI: 10.1007/978-3-319-32857-7 ]

11. Vaidyanathan S. Lotka-Volterra population biology models with negative feedback and their ecological monitoring //Int J PharmTech Res. – 2015. – Т. 8. – №. 5. – С. 974–981. URL: https:// pdfs.semanticscholar.org/8086/92dd5826922b7be83 4c05e7a41994bb3e135.pdf

12. Townsend J.T., Busemeyer J.R. Approachavoidance: Return to dynamic decision behavior // Cognitive Processes the Tulane Flowerree Symposia on Cognition. – 2014. – С. 107. URL: http://www.

13. indiana.edu/~psymodel/papers/towbus89.pdf

14. Черепанов А.А. Программа для построения и исследования фазовых портретов на основе программных компонентов с открытым исходным кодом // Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования: Материалы Международной научной конференции, 16–21 ноября 2014 г., г. Архангельск. – С. 594–598.

15. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 304 с. URL: https:// elibrary.ru/item.asp?id=19448609

16. Асташова И.В., Никишкин В.А. Практикум по курсу «Дифференциальные уравнения». Учебное пособие. Изд. 3-е, исправленное. М.: Изд. центр ЕАОИ, 2010. 94 с., ил. URL: http:// new.math.msu.su/diffur/main_du_2010.pdf

17. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений/ Пер. с англ.; Под ред. А. А. Абрамова. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 288 с. URL:

18. http://www.rk5.msk.ru/Knigi/ChMet/Ortega.pdf

19. Wheeler, David A. “Why Open Source Software / Free Software (OSS/FS, FOSS, or FLOSS)? Look at the Numbers!” [Электронный ресурс] 2014. URL: http://www.dwheeler.com/ oss_fs_why.html (дата обращения 15.10.2014)